पंचतंत्रातील गोष्टींत अनेक निसर्ग वर्णने आहेत. पुण्यातील चार विद्वानांनी त्यांतील पर्वत,जलाशय,वृक्ष,पशुपक्षी,यांच्या वर्णनांचा सूक्ष्म अभ्यास केला. त्यावरून प्रत्यक्ष राना वनात फ़िरून त्यांनी ’लघुपतनक’कावळ्याचे कोटर असलेला वृक्ष , ’अरिमर्दन’ घुबडाचा गड,’हिरण्यक’ मूषकाचे विवर,’मंथरक’ कूर्माचे सरोवर अशी अनेक स्थाने शोधून काढली.त्यांचा "पंचतंत्रातील वनस्थली" हा शोधप्रबंध अनेकांनी वाचला असेल.
दगड आणि पृथ्वी
समजा पूर्ण विश्वात फक्त पृथ्वी आणि एक छोटा दगड अशा दोनच गोष्टी आहेत - त्याही एकमेकांपासून खूप लांब! असे समजूया की पृथ्वी आपल्या जागी स्थिर आहे आणि तो दगड "देवाने" त्याच्या हातात धरून ठेवला आहे. आता हळूच देवाने आपल्या हातामधून तो दगड सोडून दिला. गुरुत्वाकर्षणामुळे तो दगड पृथ्वीकडे खेचला जाऊ लागेल, त्याचा वेग वाढत जाईल आणि काही काळाने पृथ्वीच्या पृष्ठभागावर आपटेल.
(वाटेत वातावरण वगैरे काही नाही, ज्यामुळे दगड जळून जाईल हे शक्य नाही)
तर पृथ्वीच्या पृष्ठभागावर आपटताना त्या दगडाचा वेग किती असेल?
प्रेषक: अमित कुलकर्णी
हे चार संशोधक एकदा ’दधिपुच्छ’ जंबूकाच्या गुहेचा शोध धेत होते.प्रयत्नान्ती त्यांना पंचतंत्रातील वर्णन लागू पडणारी गुहा गवसली.दधिपुच्छा नंतर खरमखर सिंह तिथे राहात होता. त्यानंतर काही चोर वास्तव्याला होते. सद्ध्या गुहा रिकामी होती.त्या चार विद्वानांनी आत प्रवेश केला.गुहा आतून विस्तीर्ण होती.आत एक निळ्याशार पाण्याचे तळे होते.त्यात कमळे होती. मासेही होते.
संशोधकांना तळ्याच्या काठी एक रांजण दिसला.त्यात सुवर्ण मुद्रा ( मोहरा) होत्या. आता सूर्यास्त होऊन अंधार पडला होता.म्हणून त्यांनी ठरविले की रात्री गुहेतच राहायचे. सकाळी मोहरा वाटून घ्यायच्या आणि निघायचे.शिदोरी सोडून त्यांनी भोजन केले. तळ्याचे पाणी पिऊन ते झोपले.दिवसभराच्या श्रमाने दमलेल्या त्या चार जणांना गाढ निद्रा लागली.
रात्री चंद्र उगवला.गुहेच्या प्रवेशद्वारापाशी.असलेल्या दगडावर अनेक चंद्रकांत मणी बसवले होते.चांदण्यात ते एकदम प्रकाशित झाले.त्यांच्या परावर्तित किरणांनी गुहा मंद नील रंगात उजळून निघाली.
एका संशोधकाला जाग आली.पहातो तो इतर तिघे गाढ झोपेत.त्याने रांजणातील मोहरा मोजून त्याचे चार समान भाग केले.एक मोहर उरली. ती जलदेवतेला अर्पण केली. आपला भाग दडवून ठेवला. इतर तीन भाग रांजणात भरून तो झोपला.
थोड्या वेळाने दुसर्याला जाग आली.इतर तिघे झोपलेले. त्याने रांजणातील मोहरांचे चार समान वाटे केले.एक मोहर उरली.ती पाण्यात टाकली. आपला वाटा दडवून ठेवला.इतर तीन वाटे रांजणात ठेवून तो झोपी गेला.
नंतर तिसरा उठला. त्याने वरील प्रमाणेच केले. चौथ्याच्या हातूनही तसेच घडले. प्रत्येक वाटपानंतर एक मोहर जलदेवतेला मिळाली.
सकाळी चारही विद्वान एकावेळी उठले.चौघांसमक्ष रांजणातील मोहरांचे चार समान
भाग केले.या वेळीही एक मोहर उरली. ती जलदेवतेला दिली.
तर:
१.प्रारंभी रांजणात कमीत कमी किती मोहरा होत्या?
२.प्रत्येकाला मिळालेल्या मोहरांची संख्या किती?(सर्वांत प्रथम उठला त्याला अर्थातच सर्वाधिक मोहरा मिळाल्या)
Comments
तर्कक्रीडा: चार संशोधक
This is a very interesting website, I have added 70-622 practice exam it in my favourites. This post is exactly what I am interested.I shall be pleased 70-631 practice exam to become a regular visitor. keep up doing nice job.i have bookmarked 70-648 practice exam this site and emailed it to a few friends so they can get help to it. regards
उत्तर मिळाले
पण हे कोडे "बाय इन्स्पेक्शन" सोडवले - ही रीत योग्य नाही. डायोफंटीन समीकरणे, चालू अपूर्णांक, वगैरे प्रकार सोडवण्यात मी कच्चाच आहे. :-(
उत्तर मिळाल्यानंतर "झोपलेल्या संशोधकांच्या संख्येचा घातांक" वगैरे सिद्धता शोधली, पण उत्तराची सिद्धता म्हणजे कोडे सोडवायची रीत नव्हे. एकाऐवजी दोन-दोन संशोधकांना एकत्र जाग आली असती तर ही सिद्धता चुलीत जाते.
उत्तर जाहीर द्यायचे नाही म्हणून हा ताळा देतो - रांजणात हा वाटप जमण्यास कमीतकमी मोहरा असल्या, तर पहिल्या संशोधकाला चवथ्या संशोधकापेक्षा १४८ मोहरा अधिक मिळाल्या. (यावरून कोड्याची सर्व उत्तरे मिळाली आहेत असा संकेत मिळू शकावा.)
-धनंजय
चार संशोधक
श्री. अमित कुलकर्णी तसेच श्री. धनंजय यांनी या कोड्याचे अचूक उत्तर शोधले आहे.श्री. अमित कुलकर्णी यांनी संगणकावर आज्ञावली लिहून प्रयत्न-प्रमाद पद्धत वापरली तर श्री.धनंजय यांनी निरीक्षण करून (बाय इन्स्पेक्शन) कोडे सोडविले.मला वाटते उत्तर प्रकट पणे लिहायला काही प्रत्यवाय नाही. मोहरांची किमान संख्या एकहजार एकवीस (१०२१) असली पाहिजे. या उत्तरात (४) च्या पाचव्या घाताची कोणतीही पूर्णपट मिळविली तरी बरोबर उत्तर येईल. मात्र ती मोहरांची किमान संख्या असणार नाही.
...या कोड्याचे पहिले उत्तर ऋण संख्येत काढणे सोपे आहे. त्यात (४)**५ ची एकपट मिळवली की इष्ट धन उत्तर येते.
.....यनावाला.
मस्त कोडे
फारच सुंदर कोडे आहे. विशेषतः कल्पना आणि भाषा आवडली. कोड्यांची अशी पुस्तके मराठीत तयार व्हायला हवी.
शैलेश
चार संशोधकःउत्तर
१.प्रारंभी रांजणात कमीत कमी किती मोहरा होत्या?२.प्रत्येकाला मिळालेल्या मोहरांची संख्या किती?(सर्वांत प्रथम उठला त्याला अर्थातच सर्वाधिक मोहरा मिळाल्या)***************************************************************************************************************** या कोड्या विषयी "मॅथेमॅटिकल पझल्स" या पुस्तकात मार्टिन गार्डनर लिहितात:"....९ ऑक्टोबर १९२६ च्या सॅटर्डे इव्हिनिंग पोस्ट च्या अंकात बेन विल्यम्स याची ’कोकोनट ही लघुकथा प्रसिद्ध झाली.त्या कथेत हे कोडे होते ते कथेचा एक भाग म्हणून . त्यामुळे विल्यम्सने कोड्याचे उत्तर दिले नाही. अंक प्रसिद्ध झाल्यावर एका आठवड्यात इव्हिनिंग पोस्टवर दोन हजार पत्रांचा वर्षाव झाला.तेव्हा प्रमुख संपादकाने विल्यम्सला पाठविलेली ऐतिहासिक तार अशी:.."फ़ॉर द लव्ह ऑफ़ माईक हाऊमेनी कोकोनटस् ? हेल पॉपिंग अराउंड हियर."पुढे जवळ जवळ वीस वर्षे या कोड्याच्या संदर्भात विल्यम्सला वाचकांची पत्रे येत राहिली."***************************चार विद्वान ’ कोड्याचे उत्तर:रांजणातील सुवर्ण मुद्रांची किमान संख्या एकहजार एकवीस.[(४)चा ५वा चघात- ३]*संशोधक १:--३३५ मुद्रा, क्र.२---२७१, क्र.३---१८७, क्र.४----१८७, जलदेवता--५मुद्रा.*{ पाच संशोधक असते तर किमान मुद्रा: [५ चा सहावा घात-४]तीन संशोधक असते तर मुद्रांची किमान संख्या =७९}
******************************************************************************************.
दगड आणि पृथ्वी
पृथ्वी स्थिर आहे. देवाने आपल्या हातातील दगड सोडल्यावर तो गुरुत्वाकर्षण बलामुळे पृथ्वीकडे सरळ रेषेत खेचला जाईल. (अन्य कोणताही पिंड--बॉडी-- अवकाशात नाही.)
दगड जसजसा पृथ्वी जवळ येईल तसतसे त्याचे त्वरण (ऍक्सिलरेशन) वाढत जाईल. या प्रमाणे गणित करून पाहिले असता पुढील उत्तर येते:
पृथ्वीच्या पृष्ठभागावर आदळण्याचा वेग=वर्गमूळ{२*जी* आर* एच/(एच+आर)}. इथे जी= पृथ्वीच्या पृष्ठभागा जवळचे त्वरण.(~९.८१ मी/सेकंदवर्ग )
आर= पृथ्वीची त्रिज्या. , एच= दगड सोडला त्याक्षणी त्याचे पृ.पासून अंतर.
हे झाले गणिती उत्तर. पण कोडे आहे त्याअर्थी त्यात काही गोम असावी अशी शंका येते. मात्र ती गोम लक्षात येत नाही. श्री. अमित कुलकर्णी यथावकाश सांगतीलच.
........यनावाला
(इथे इंगजी अक्षरे लिहिण्याची सुविधा दिसत नाही.)
...............................................................................................................................
एस्केप व्हेलॉसिटी
यनावाला सरांचे उत्तर अगदी बरोबर आहे.
वर्गमूळ{२*जी* आर* एच/(एच+आर)}
हेच वर्गमूळ{२*जी* आर/(१+आर/एच)} असे लिहिता येईल आणि जेव्हा अंतर एच = अनंत असेल तेव्हा वर्गमूळ{२*जी* आर} म्हणजेच ११.२ कि. मी. / सेकंद (एस्केप व्हेलॉसिटी) इतका वेग असेल!
याचे सोपे उत्तर असे - दगड 'व' वेगाने टाकल्यावर 'अ' उंचीवर जात असेल तर 'अ' उंचीवरून सोडल्यावर त्याचा आपटण्याचा वेग 'व' असतो.
मग, एस्केप व्हेलॉसिटी ने दगड फेकल्यावर तो अनंत अंतरावर जातो, तर तिकडून परत येईल तो एस्केप व्हेलॉसिटीनेच!
हा वेग म्हणजे पृथ्वीच्या गुरुत्वाकर्षणातून निसटण्यासठी पुरेसा असणारा वेग. ज्या अर्थी ११.२ कि. मी / से. या वेगाने अवकाशात फेकेलेली वस्तू पृथ्वीचे गुरुत्वाकर्षण पार करून जेमतेम अनंत अंतरावर जाते, त्या वेगामुळे मिळणारी गतिज उर्जा ती वस्तू फेकताना वस्तूपाशी असते. अनंत अंतरावरून तीच वस्तू जर पृथ्वीवर आली, तर आपटण्याआधी तिच्यापाशी पूर्वीइतकीच गतिज ऊर्जेची राशी असेल. कारण ऊर्जेची एकूण राशी स्थिर असते असा ऊर्जा अक्षय्यतेचा नियम आहे. वस्तू तीच आहे, वस्तुमान तेच आहे, तर ती ऊर्जा देणारा वेगही तोच असणार, फक्त गतीची दिशा वरच्या ऐवजी खाली असेल.
प्रत्येक ग्रह / तार्यासाठी हा वेग ठराविक असतो आणि तो त्या ग्रह / तार्याच्या वस्तुमान आणि आकारमानावर अवलंबून असतो. गणिताने असे दाखविता येईल की निसटायचा वेग √ ग * त (ग = ग्रह/तार्याचे गुरुत्वीय त्वरण [पृथ्वीसाठी ९.८ मी / से २], त = ग्रह/तार्याची त्रिज्या [पृथ्वीसाठी = ६३७० कि. मी])= [पृथ्वीसाठी] ११.२ कि. मी./ सेकंद .
अमित
गोम
कोड्यातली गोम अशी की सामान्यज्ञानातून कोडे सोडवायचे आहे. कित्येक विद्यार्थ्यांना पृथ्वीच्या गुरुत्वाकर्षणापासून मुक्त होण्यासाठीचा वेग (एस्केप व्हेलॉसिटी, पृथ्वीमोचन वेग) सामान्यज्ञान म्हणून माहीत असतो (११.२ किमि/सेकंद). खूप दूरवरून पृथ्वीवर पडणार्या दगडाचा वेग तितकाच असणार हे एकूण-ऊर्जा-राशी-संरक्षणामुळे सिद्ध आहे. (श्री. कुलकर्णी यांच्याशी माझा पत्रसंवाद झाला आहे.)
पण सामान्यज्ञान म्हणून जर पृथ्वीमोचन वेग माहीत नसेल तर कलनाच्या गणिताशिवाय (कॅल्क्युलसशिवाय) उपाय नाही, असे मला वाटते.
-धनंजय
जवळजवळ शून्य ;)
तर पृथ्वीच्या पृष्ठभागावर आपटताना त्या दगडाचा वेग किती असेल?
जवळजवळ शून्य!
आपटण्यापूर्वी सगळे गणित. आपटताना दुर्लक्षण्याइतका कमी!
हीच गोम?
नगण्य वेग?
छे! छे!! हा वेग दुर्लक्षिण्या इतका कमी कसा असेल? दगडाचे अंतर अनंताशी समीपन साधत असेल तर वेग प्रति सेकंदी ११ किलोमीटर पेक्षा अधिक येईल .
....यनावाला.
इंग्रजी अक्षरे
लिहिण्याची स्वाभाविक पद्धत मराठी आहे. लेखन पद्धत मराठी-इंग्रजी-मराठी अशी बदलण्यासाठी CTRL+\ दाबा (कंट्रोल कळ दाबून ठेऊन \ दाबा)