भाग १

ग्रीकमधील सिराक्यूज राजाच्या राजमुकुटातील सोन्याचे प्रमाण योग्य आहे की नाही याचा शोध घेणार्‍या अर्किमिडीसचे पाण्याच्या टबमधून युरेका! युरेका!! असे ओरडत (नागडाच!) रस्त्यावर आल्याची गोष्ट सर्वश्रुत आहे. त्या काळचा युक्लिड या गणितज्ञाप्रमाणे अर्किमिडीस केवळ सैद्धांतिक उत्तरावर समाधान मानणारा गणितज्ञ नव्हता. खऱ्या अर्थाने तो एक सर्जनशील अभियंता होता. प्रचंड प्रमाणातील गोफण यंत्रणेची (catapults) रचना त्यानी केली होती. युद्धकाळात शत्रूंच्या अंगावर मोठमोठे दगड फेकण्यासाठी त्याचा वापर केला जात होता. प्रचंड आकाराच्या आरश्यांचा वापर सूर्यकिरणांचे प्रतिबिंब केंद्रित करून शत्रूंच्या बोटी पेटवण्याची शक्कल त्यानी लढवली होती. परंतु सर्वात महत्वाचे म्हणजे वर्तुळाचे परिघ मोजण्यासाठी Π या संकल्पनेचे योगदान त्याचे होते.

वर्तुळाचे परिघ मोजण्यासाठी त्याने प्रथम एक वर्तुळ काढले. व वर्तुळाच्या परिघाला चिकटून वर्तुळाच्या आत व बाहेर असे दोन षट्कोन त्यानी काढले. दोन्ही षट्कोनाच्या भुजांच्या लांबीची बेरीज केली. आणि त्यावरून Π चे मूल्य 3 व 3.46 च्या मध्ये कुठेतरी असण्याची शक्यता त्यानी वर्तविली. i.e. 3 < Π < 3.46

परंतु एवढ्यावरच त्याचे समाधान झाले नाही. षट्कोनाकृतीऐवजी 12 भुजांच्या आकृतीत वर्तुळ बसविल्यास Π ची किंमत आणखी जास्त अचूक येणार हे त्याच्या लक्षात आले. वर्तुळाला बहुभुजाकृती भिंतीसारखे पकडते व Π ची जास्तीत जास्त अचूक किंमत ठरविण्यात मदत करू शकते. अर्किमिडीस यानी 6 भुजाकृतीपासून प्रारंभ करत 96 भुजा असलेल्या बहुभुजाकृतीत वर्तुळ बंदिस्त करून Π चे मूल्य शोधण्याचा प्रयत्न केला. तेव्हा त्याने Π चे मूल्य 223/71 < Π< 22/7 म्हणजे 3.14084 < Π < 3.14285 असण्याची शक्यता वर्तविली. या त्याच्या शोधात Π ची किंमत 2 दशमान स्थानापर्यंत अचूक होती.

परंतु Π चे शिकारी (Π hunters) एवढ्यावर समाधान मानणारे नव्हते. तिसर्‍या शतकात चीन येथील लियु हुई याने हीच पद्धत वापरून 3072 भुजांच्या आकृतीत वर्तुळ बंदिस्त करून Π च्या मूल्याचा शोध घेतला. तेव्हा त्याला 5 दशमान स्थानापर्यंतची - 3.14159 - अचूक किंमत मिळाली. नंतरच्या 200 वर्षानंतर त्सु चुंगचिह व त्सु केंग चिह या पितापुत्रानी Π चे 6 दशमान स्थानापर्यंतच्या अचूक मूल्याचा शोध घेतला. यासाठी वापरलेल्या बहुभुजाकृतीतील भुजांची संख्या 12288 एवढी होती!

ग्रीक व चीन येथील अंकाच्या गुंतागुंतीच्या संज्ञामुळे व वापरात असलेल्या आधारांकामुळे (base 8, 12, 60) गणितज्ञांसमोर असंख्य अडचणी येत होत्या. अंकगणितासाठी अत्यंत सुलभ असलेली दशमान पद्धती भारतातून अरबाद्वारे इतर देशात पोचल्यानंतर Π च्या अचूक मूल्याच्या शोधाला प्रोत्साहन मिळाले. यामुळे यापूर्वीच्या Π बद्दलच्या उच्च दाखल्यांना धक्का पोचला. 1596 मध्ये हॉलंड येथील लुडॉल्फ व्हॉन क्युलेन या मोजणीदाराने 60X2²⁹ भुजा असलेली बहुभुजाकृती वापरून 20 दशमान स्थानापर्यंत Π चे मूल्य निश्चित केले. त्यानंतर त्यानीच 32 व त्यानंतर 35 दशमान स्थानापर्यंत Π चे मूल्य निश्चित करून नवीन दाखला प्रस्थापित केला. त्याच्या मृत्युनंतर त्याच्या मृत्युशिलेवर ही संख्या कोरली होती. जर्मनीत अगदी अलिकडेपर्यंत Π या संख्येला लुडॉल्फ संख्या म्हणून ओळखले जात होते.

पुढील 200 वर्षे Π चे मूल्य शोधण्यासाठी बहुभुजाकृतीला दुसरा पर्याय नव्हता. परंतु 17 व्या शतकात गॉटफ्राइड लेब्निट्झ (1646 - 1716) http://en.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz या गणितज्ञानी Π च्या मूल्याच्या शोधासाठी अत्यंत वेगळ्या प्रकारची रीत वापरली. Π च्या मूल्य निश्चितीसाठी त्यांनी खालील समीकरणाचा वापर केला.
Π/4 = 1-1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 ....
या समीकरणात आलटून पालटून अधिक व वजा करण्यासाठी विषम संख्यांचा वापर केला असून हे समीकरण इन्फिनिटी पर्यंत वाढवता येते. हे समीकरण लेब्निट्झनी शोधलेल्या कॅल्क्युलसवर आधारित होते. कॅल्क्युलसचा वापर वक्ररेषाकृतीतील क्षेत्र व प्रवणसाठी (gradient) वापरला जात होता. कॅल्क्युलसचा शोध प्रथम कुणी लावला याबद्दल इंग्लंड येथील न्यूटन व फ्रान्स येथील लेब्निट्झ यांच्यामधील लिखित व वाग्युद्धाला त्याकाळी भरपूर प्रसिद्धी मिळाली. परंतु भारतीय गणितज्ञ माधव यानी ते 14 व्या शतकात शोधले होते, हे नंतर जगाला कळाले!

Π च्या मूल्यासाठी लेब्निट्झ यानी अनंत श्रेणीचा (infinite series) वापर केला होता. त्याच्या समीकरणावरून Π चे मूल्य 4 --> 2.667 --> 3.467 -->2.896 -->3.34 .... असे कमी जास्त होत गेले. Π चे मूल्य 2 दशमान स्थानापर्यंत पोचण्यासाठी सुमारे 300 पदापर्यंत हिशोब करावा लागत होता. त्यामुळे Π शोधकांना हे समीकरण फारच गुंतागुंतीचे व अत्यंत वेळ खावू वाटू लागले. नंतरच्या काळात कॅल्क्युलसमुळे इतर काही समीकरणांचा वापर करून Π चे मूल्य निश्चित करण्याचे प्रयत्न अनेकांनी केले. 1705 मध्ये अब्राहम शार्प या खगोल शास्त्रज्ञाने 72 दशमान स्थानापर्यंत Π चे मूल्य निश्चित करून या पूर्वीचे 35 स्थानापर्यंतचा दाखला मोडून एक नवीन दाखला प्रस्थापित केला.

खरे पाहता याकडे एक गणितीय वा बौद्धिक व्यायाम वा एक वेगळी कामगिरी म्हणून वाहव्वा होत असली तरी 72 दशमान स्थानापर्यंतच्या मूल्याचे करायचे काय हा एक प्रश्न उभा राहतो. या अचूक मूल्याचा व्यावहारिकदृष्ट्या काहीही उपयोग नव्हता. अभियांत्रिकीच्या मापनामध्ये या स्थानापर्यंत मोजण्याची सोयही नव्हती व गरजही नव्हती. अभियंत्यांना जास्ती जास्त 4 स्थानापर्यंतची संख्या पुरेशी ठरत होती. पृथ्वीचे परीघ सेंटीमीटर्समध्ये मोजण्याचे ठरवले तरी 10 दशमान स्थानापर्यंत Π चे मूल्य पुरेसे ठरेल. 39 दशमान स्थानापर्यंतचे मूल्य वापरून विश्वाच्या परिघाचे मोजमाप हायड्रोजनच्या अणूच्या लांबीएवढे अचूक मोजणे शक्य आहे. परंतु Π शोधकांना व्यवहाराशी देणे घेणे नव्हते. प्रबोधन काळातील गणितज्ञांना जास्तीत जास्त अचूक उत्तर रोमांचित करत असावे. त्यामुळे आकडेमोडींचा कंटाळा न करता रात्रंदिवस भूक - तहान विसरून अशा निरर्थक गोष्टींच्या मागे लागत असावेत. कसे तरी करून रेकॉर्ड्सच्या पुस्तकात नाव असणे ही मानसिकता त्यामागे असावी. शार्पच्या प्रयत्नानंतर एका वर्षाच्या आत जॉन मार्टिन यानी शंभर स्थानापर्यंत आणि 1717मध्ये फ्रेंच गणितज्ञ थॉमस डी लॅनी यानी 127 स्थानापर्यंत मूल्य निश्चित केले. 18व्या शतकाच्या शेवटी हे मूल्य 140 स्थानापर्यंत पोचले.